sexta-feira, 25 de fevereiro de 2011
sexta-feira, 11 de fevereiro de 2011
Vetores
1.1 Grandezas Vetoriais e esclares.
Na física, existem grandezas escalares e vetoriais.
Grandezas Escalares são aquelas definidas apenas por um valor numérico e uma unidade de medida.
Grandezas Vetoriais são aquelas que apenas o valor numérico não é suficiente para serem definidas. Para especificarmos um vetor precisamos dar 3 (três) características:
Vetor:
1. Módulo
2. Sentido
3. Direção
e é claro, a unidade de medida que toda e qualquer grandeza tem que ter.
Então, todo vetor tem uma direção, um sentido e um módulo.
Vamos dar alguns exemplos:
Imagine a mesa de sua casa. Eu lhe digo que vou fazer uma FORÇA nela, e como sou forte, você pode imaginar que vou conseguir fastar a mesa. Mas perceba uma coisa:
Se eu fizer a força do lado da mesa, vou fastá-la. Mas se eu fizer a mesma força na parte de cima da mesa, empurrando ela contra o chão, a mesa não sairia do lugar.
Assim, a força é uma grandeza vetorial, pois temos especificar sua direção e sentido. Assim, quando eu lhe falar que vou fazer uma força na mesa, tenho que determinar a direção e o sentido da força para que então você saiba se a mesa vai sair do lugar ou não.
Agora, uma pessoa com febre mede sua TEMPERATURA e no termômetro marca 38° (trinta e oito graus Celsius). Com isso, já temos todas as informações necessárias para caracterizar a temperatura. Pois não importa se a pessoa está sentada, em pé ou deitada, a temperatura dela será 38° e se não tomar um tilenol a febre não vai passar. Assim, a temperatura é uma grandeza escalar.
É importante a definição de direção e sentido.
Veja a figura:
1 e 2 são carros.
A direção do carro 1 é a própria estrada, que é a mesma direção do carro 2. Nessa situação, a direção fica caracterizada pela estrada, ou seja, a direção é a estrada.
Mas o carro 1 está indo de A para B. Esse é o sentido do carro 1. Já o sentido do carro 2 é o oposto: ele está indo de B para A.
A DIREÇÃO é a reta por onde você se desloca; e já o SENTIDO é de onde para onde você está se deslocando. Podemos dizer que o sentido é o complemento da direção.
Quase sempre que falarmos em direção na Física será HORIZONTAL e VERTICAL.
A direção horizontal possui dois SENTIDOS: Esquerda e direita.
A direção vertical possui dois SENTIDOS: De cima para baixo, e de baixo para cima.
Veja que cada direção possui dois sentidos, e que eles são opostos. E não se esqueça que o sentido é o complemento da direção.
No exemplo da mesa, quando falamos em fazer a força do lado da mesa, a direção era a horizontal e o sentido podia ser para a esquerda ou para a direita. E quando falamos em fazer uma força na parte de cima da mesa, a direção era vertical e o sentido, como falei que ia empurrar contra o chão, era de cima para baixo.
Essas eram as informações que tínhamos que dar para caracterizar o VETOR FORÇA.
Uma característica que falta falar é o MÓDULO de um VETOR. O módulo é justamente o valor numérico do vetror, ou como também é chamado, sua magnitude. Por exemplo:
Quando falamos que um carro está com 40 km/h, estamos informando o valor de seu módulo ou magnitude. O módulo não leva em consideração o sinal do vetor: se ele é + (positivo) ou se ele é - (negativo).
Agora, quando falamos que um carro está com 40 km/h na Avenida João Pessoa indo para o centro de fortaleza, caracterizamos o VETOR VELOCIDADE.
Módulo --> 40 km/h;
Direção --> Av. João Pessoa;
Sentido --> sentido centro.
1.2 Operações com Vetores.
A grande diferença entre as grandezas escalares e vetoriais é como efetuar as quatro operações matemáticas: + (soma) - (subtração) * (multiplicação) e / (divisão).
Representação Geométrica de um Vetor:
A representação geométrica de um vetor é geralmente dada com uma seta. Veja a figura:
O ponto A, na figura, é o inicio do vetor, e o ponto B é o fim do vetor. Da figura, podemos obter as três informações necessárias de um vetor.
Sua direção é a própria reta. O sentido está indicado pelo triângulo na ponta da reta. E seu módulo é o comprimento da reta. Essa setinha em cima da letra "V" nos indica que "V" é um vetor.
Soma Vetorial
Regra do polígono:
A regra do polígono diz que para somar vetores, você deve representar geometricamente um primeiro vetor. Depois, represente o segundo vetor de tal forma que seu início seja no fim do primeiro vetor, e assim por diante. Veja um exemplo com os vetores acima (A e B):
Assim, o vetro resultante é representado pela seta que começa no início do primeiro vetor e termina no fim do segundo vetor.
Então R = A + B.
Também, a soma é comutativa, ou seja, não importa a ordem da soma:
R = A + B é igual R = B + A
Assim, se você tivesse representado primeiro o vetor B e em seguida o vetor A, para então achar R, não estaria errado. Qual vetor representar primeiro é você quem decide.
Multiplicação entre um número e um vetor
Considere um vetor A. Se multiplicarmos ele por um número (o número não é vetor) positivo qualquer, as características não mudam, exceto seu módulo. Por exemplo:
O vetor A tem módulo 5
Se multiplicarmos A por 2, ou seja, 2.A, sua direção e sentido não mudarão. Porém, seu módulo vai ser multiplicado por dois e passará a ser 10.
Na multiplicação de um número por um vetor existe uma exceção. Se o número for negativo, o sentido do vetor inverte. Veja um exemplo com o vetor A do exemplo anterior:
Como A = 5 , se multiplicarmos A por -2, a direção é a mesma e seu módulo será 10, mas o sentido inverte.
Subtração Vetorial
A subtração vetorial se dar da mesma forma que a soma. Exemplo:
Considere os dois vetores
Pela a regra do polígono, A + B seria:
Também pela regra do polígono, A - B se dar da mesma forma, porém temos que inverter o sentido do vetor B. Veja um exemplo com os mesmos vetores A e B.
R = A -B; Veja que na soma B tinha sentido para baixo, e na subtração temos que inverter o sentido, ou seja, para cima.
Veja que a subtração é igual à soma, porém o vetor B está multiplicado por -1. E como já vimos, se multiplicarmos um vetor por um numero negativo, o seu sentido se inverte. Ou seja, R = A + (-1.B)
Mas diferente da soma, a subtração não é comutativa, ou seja, as ordens dos vetores importam.
R = A - B é diferente de R = B - A.
Particularidades
Na soma vetorial existem 3 casos particulares:
Considere o vetor A de módulo 3 e o vetor B de módulo 4 para os três casos.
1º caso: Se A e B tiverem mesma direção e mesmo sentido.
Nesse caso, soma os módulos de A e B. Então R terá módulo 7. E a direção e sentido serão o mesmo dos vetores A e B.
Veja que esse resultado é facilmente obtido pela regra do polígono.
2º caso: Se A e B tiverem mesma direção, mas sentidos opostos.
Nesse caso, subtrai os módulos. Então R terá módulo 1. E o sentido e a direção serão os mesmos do vetor que tenha maior módulo. No exemplo é o vetor B.
3º caso: Se A e B forem perpendiculares entre si, ou seja, formarem 90°.
Nesse caso, temos que fazer o teorema de Pitágoras:
R² = A² + B²
Então R terá módulo igual:
R² = 3² + 4²
R² = 9 + 16
R² = 25
R = 5
E a direção e sentido descobrimos pela regra do polígono.
Multiplicação entre Vetores
O produto de dois vetores tem duas maneiras distintas de fazer e de resultados diferentes. Existe o produto vetorial e o produto escalar.
O produto vetorial é a multiplicação de dois vetores onde o resultado é um vetor.
Já o produto escalar, é a multiplicação de dois vetores, porém o resultado é uma grandeza escalar.
Esses dois produtos serão essenciais para determinarmos algumas grandezas físicas. E nesses produtos não há necessidade de decomposição dos vetores.
Veja como são os dois produtos:
Produto Vetorial: Considere os vetores A e B da figura.
Veja que A e B fazem um ângulo teta entre si, mas também fazem um ângulo alfa. Porém, alfa > teta (alfa maior que teta). São dois ângulos tal que alfa + teta = 360°. Então, tanto no produto escalar como no produto vetorial, temos que utilizar o menor ângulo entre os vetores. No caso é o ângulo teta.
Então, o produto vetorial será:
R = A.B.sen(teta) Veja que a setinha em cima de R indica que ele é um vetor.
Produto Escalar:
Considere os mesmos vetores A e B do exemplo anterior.
O produto escalar será da seguinte forma:
S = A.B.cos(teta) Veja que S não possui setinha sobre ela, então S não é um vetor, é uma grandeza escalar.
--> Por convenção, para distinguirmos os dois produtos, usamos dois sinais diferentes:
Usamos um "X" para indicar o produto vetorial e um "." (ponto) para indicar o produto escalar. Assim, fica subentendido quando utilizar o seno ou o cosseno.
R = A x B e
S = A . B
Porém, isso é apenas uma convenção, pois para descobrirmos os valores reais dos produtos usamos as relações apresentadas acima.
1.3 Decomposição de Vetores
Todo vetor pode ser decomposto em dois vetores perpendiculares, um na horizontal e o outro na vertical. Como no 3º caso a pouco apresentado.
A decomposição é feita da seguinte forma:
Considere o vetor A
O vetor A faz um Ângulo Teta com a horizontal.
O vetor pode ser decomposto nos vetores B e C, uma na horizontal e o outro na vertical.
O módulo de B será igual ao módulo de A multiplicado pelo cosseno de teta.
B = A.cos(teta)
Já o módulo de C será igual ao módulo de A nultiplido pelo seno de teta.
C = A.seno(teta)
Como B e C, na decomposição, sempre serão perpendiculares entre si, o vetor A e suas componentes B e C irão obedecer ao 3º caso:
A² = B² + C²
Na física, existem grandezas escalares e vetoriais.
Grandezas Escalares são aquelas definidas apenas por um valor numérico e uma unidade de medida.
Grandezas Vetoriais são aquelas que apenas o valor numérico não é suficiente para serem definidas. Para especificarmos um vetor precisamos dar 3 (três) características:
Vetor:
1. Módulo
2. Sentido
3. Direção
e é claro, a unidade de medida que toda e qualquer grandeza tem que ter.
Então, todo vetor tem uma direção, um sentido e um módulo.
Vamos dar alguns exemplos:
Imagine a mesa de sua casa. Eu lhe digo que vou fazer uma FORÇA nela, e como sou forte, você pode imaginar que vou conseguir fastar a mesa. Mas perceba uma coisa:
Se eu fizer a força do lado da mesa, vou fastá-la. Mas se eu fizer a mesma força na parte de cima da mesa, empurrando ela contra o chão, a mesa não sairia do lugar.
Assim, a força é uma grandeza vetorial, pois temos especificar sua direção e sentido. Assim, quando eu lhe falar que vou fazer uma força na mesa, tenho que determinar a direção e o sentido da força para que então você saiba se a mesa vai sair do lugar ou não.
Agora, uma pessoa com febre mede sua TEMPERATURA e no termômetro marca 38° (trinta e oito graus Celsius). Com isso, já temos todas as informações necessárias para caracterizar a temperatura. Pois não importa se a pessoa está sentada, em pé ou deitada, a temperatura dela será 38° e se não tomar um tilenol a febre não vai passar. Assim, a temperatura é uma grandeza escalar.
É importante a definição de direção e sentido.
Veja a figura:
1 e 2 são carros.
A direção do carro 1 é a própria estrada, que é a mesma direção do carro 2. Nessa situação, a direção fica caracterizada pela estrada, ou seja, a direção é a estrada.
Mas o carro 1 está indo de A para B. Esse é o sentido do carro 1. Já o sentido do carro 2 é o oposto: ele está indo de B para A.
A DIREÇÃO é a reta por onde você se desloca; e já o SENTIDO é de onde para onde você está se deslocando. Podemos dizer que o sentido é o complemento da direção.
Quase sempre que falarmos em direção na Física será HORIZONTAL e VERTICAL.
A direção horizontal possui dois SENTIDOS: Esquerda e direita.
A direção vertical possui dois SENTIDOS: De cima para baixo, e de baixo para cima.
Veja que cada direção possui dois sentidos, e que eles são opostos. E não se esqueça que o sentido é o complemento da direção.
No exemplo da mesa, quando falamos em fazer a força do lado da mesa, a direção era a horizontal e o sentido podia ser para a esquerda ou para a direita. E quando falamos em fazer uma força na parte de cima da mesa, a direção era vertical e o sentido, como falei que ia empurrar contra o chão, era de cima para baixo.
Essas eram as informações que tínhamos que dar para caracterizar o VETOR FORÇA.
Uma característica que falta falar é o MÓDULO de um VETOR. O módulo é justamente o valor numérico do vetror, ou como também é chamado, sua magnitude. Por exemplo:
Quando falamos que um carro está com 40 km/h, estamos informando o valor de seu módulo ou magnitude. O módulo não leva em consideração o sinal do vetor: se ele é + (positivo) ou se ele é - (negativo).
Agora, quando falamos que um carro está com 40 km/h na Avenida João Pessoa indo para o centro de fortaleza, caracterizamos o VETOR VELOCIDADE.
Módulo --> 40 km/h;
Direção --> Av. João Pessoa;
Sentido --> sentido centro.
1.2 Operações com Vetores.
A grande diferença entre as grandezas escalares e vetoriais é como efetuar as quatro operações matemáticas: + (soma) - (subtração) * (multiplicação) e / (divisão).
Representação Geométrica de um Vetor:
A representação geométrica de um vetor é geralmente dada com uma seta. Veja a figura:
O ponto A, na figura, é o inicio do vetor, e o ponto B é o fim do vetor. Da figura, podemos obter as três informações necessárias de um vetor.
Sua direção é a própria reta. O sentido está indicado pelo triângulo na ponta da reta. E seu módulo é o comprimento da reta. Essa setinha em cima da letra "V" nos indica que "V" é um vetor.
Soma Vetorial
Regra do polígono:
A regra do polígono diz que para somar vetores, você deve representar geometricamente um primeiro vetor. Depois, represente o segundo vetor de tal forma que seu início seja no fim do primeiro vetor, e assim por diante. Veja um exemplo com os vetores acima (A e B):
Assim, o vetro resultante é representado pela seta que começa no início do primeiro vetor e termina no fim do segundo vetor.
Então R = A + B.
Também, a soma é comutativa, ou seja, não importa a ordem da soma:
R = A + B é igual R = B + A
Assim, se você tivesse representado primeiro o vetor B e em seguida o vetor A, para então achar R, não estaria errado. Qual vetor representar primeiro é você quem decide.
Multiplicação entre um número e um vetor
Considere um vetor A. Se multiplicarmos ele por um número (o número não é vetor) positivo qualquer, as características não mudam, exceto seu módulo. Por exemplo:
O vetor A tem módulo 5
Se multiplicarmos A por 2, ou seja, 2.A, sua direção e sentido não mudarão. Porém, seu módulo vai ser multiplicado por dois e passará a ser 10.
Na multiplicação de um número por um vetor existe uma exceção. Se o número for negativo, o sentido do vetor inverte. Veja um exemplo com o vetor A do exemplo anterior:
Como A = 5 , se multiplicarmos A por -2, a direção é a mesma e seu módulo será 10, mas o sentido inverte.
Subtração Vetorial
A subtração vetorial se dar da mesma forma que a soma. Exemplo:
Considere os dois vetores
Pela a regra do polígono, A + B seria:
Também pela regra do polígono, A - B se dar da mesma forma, porém temos que inverter o sentido do vetor B. Veja um exemplo com os mesmos vetores A e B.
R = A -B; Veja que na soma B tinha sentido para baixo, e na subtração temos que inverter o sentido, ou seja, para cima.
Veja que a subtração é igual à soma, porém o vetor B está multiplicado por -1. E como já vimos, se multiplicarmos um vetor por um numero negativo, o seu sentido se inverte. Ou seja, R = A + (-1.B)
Mas diferente da soma, a subtração não é comutativa, ou seja, as ordens dos vetores importam.
R = A - B é diferente de R = B - A.
Particularidades
Na soma vetorial existem 3 casos particulares:
Considere o vetor A de módulo 3 e o vetor B de módulo 4 para os três casos.
1º caso: Se A e B tiverem mesma direção e mesmo sentido.
Nesse caso, soma os módulos de A e B. Então R terá módulo 7. E a direção e sentido serão o mesmo dos vetores A e B.
Veja que esse resultado é facilmente obtido pela regra do polígono.
2º caso: Se A e B tiverem mesma direção, mas sentidos opostos.
Nesse caso, subtrai os módulos. Então R terá módulo 1. E o sentido e a direção serão os mesmos do vetor que tenha maior módulo. No exemplo é o vetor B.
3º caso: Se A e B forem perpendiculares entre si, ou seja, formarem 90°.
Nesse caso, temos que fazer o teorema de Pitágoras:
R² = A² + B²
Então R terá módulo igual:
R² = 3² + 4²
R² = 9 + 16
R² = 25
R = 5
E a direção e sentido descobrimos pela regra do polígono.
Multiplicação entre Vetores
O produto de dois vetores tem duas maneiras distintas de fazer e de resultados diferentes. Existe o produto vetorial e o produto escalar.
O produto vetorial é a multiplicação de dois vetores onde o resultado é um vetor.
Já o produto escalar, é a multiplicação de dois vetores, porém o resultado é uma grandeza escalar.
Esses dois produtos serão essenciais para determinarmos algumas grandezas físicas. E nesses produtos não há necessidade de decomposição dos vetores.
Veja como são os dois produtos:
Produto Vetorial: Considere os vetores A e B da figura.
Veja que A e B fazem um ângulo teta entre si, mas também fazem um ângulo alfa. Porém, alfa > teta (alfa maior que teta). São dois ângulos tal que alfa + teta = 360°. Então, tanto no produto escalar como no produto vetorial, temos que utilizar o menor ângulo entre os vetores. No caso é o ângulo teta.
Então, o produto vetorial será:
R = A.B.sen(teta) Veja que a setinha em cima de R indica que ele é um vetor.
Produto Escalar:
Considere os mesmos vetores A e B do exemplo anterior.
O produto escalar será da seguinte forma:
S = A.B.cos(teta) Veja que S não possui setinha sobre ela, então S não é um vetor, é uma grandeza escalar.
--> Por convenção, para distinguirmos os dois produtos, usamos dois sinais diferentes:
Usamos um "X" para indicar o produto vetorial e um "." (ponto) para indicar o produto escalar. Assim, fica subentendido quando utilizar o seno ou o cosseno.
R = A x B e
S = A . B
Porém, isso é apenas uma convenção, pois para descobrirmos os valores reais dos produtos usamos as relações apresentadas acima.
1.3 Decomposição de Vetores
Todo vetor pode ser decomposto em dois vetores perpendiculares, um na horizontal e o outro na vertical. Como no 3º caso a pouco apresentado.
A decomposição é feita da seguinte forma:
Considere o vetor A
O vetor A faz um Ângulo Teta com a horizontal.
O vetor pode ser decomposto nos vetores B e C, uma na horizontal e o outro na vertical.
O módulo de B será igual ao módulo de A multiplicado pelo cosseno de teta.
B = A.cos(teta)
Já o módulo de C será igual ao módulo de A nultiplido pelo seno de teta.
C = A.seno(teta)
Como B e C, na decomposição, sempre serão perpendiculares entre si, o vetor A e suas componentes B e C irão obedecer ao 3º caso:
A² = B² + C²
Soma e Subtração em Notação Científica.
Na soma e subtração é um pouco mais complicado, porque o número nem sempre vai estar em notação científica. Veja a soma:
300000 + 500000 , primeiro vamos botar os números em notação científica.
3x10^5 + 5x10^5 , agora, diferente da multiplicação e da divisão, aqui não vamos fazer a operação com as potencias de 10, veja:
(3+5)x10^5 (soma os números inteiros e conserva a potência)
8x10^5
Porém, fez-se isso porque a potência dos dois números eram iguais, por isso que na soma/subtração nem sempre o número vai tá em notação científica. Veja:
32500 + 125300 (colocar os números em notação científica)
3,25x10^4 + 1,253x10^5 (Veja que a potência de um número é 4 e a do outro é 5, então para somar os números temos q botar os dois números com mesma potência de 10)
3,25x10^4 + 12,53x10^4 (Veja que o número 12,53x10^4 não está em notação científica, pois 12,53 é maior do que dez)
Então, agora soma-se os números inteiros e conserva a potência de 10.
(3,25+12,53)x10^4
15,78x10^4
Assim também se dar a subtração, subtrai-se os números inteiros e conseva-se a potência de 10.
Não se assuste com essa parte, isso é só pra facilitar os cálculos. É um aprendizado a mais. Então não cometa suicídio, AINDA! Deixa pelo menos chegar a prova do vest ;)
300000 + 500000 , primeiro vamos botar os números em notação científica.
3x10^5 + 5x10^5 , agora, diferente da multiplicação e da divisão, aqui não vamos fazer a operação com as potencias de 10, veja:
(3+5)x10^5 (soma os números inteiros e conserva a potência)
8x10^5
Porém, fez-se isso porque a potência dos dois números eram iguais, por isso que na soma/subtração nem sempre o número vai tá em notação científica. Veja:
32500 + 125300 (colocar os números em notação científica)
3,25x10^4 + 1,253x10^5 (Veja que a potência de um número é 4 e a do outro é 5, então para somar os números temos q botar os dois números com mesma potência de 10)
3,25x10^4 + 12,53x10^4 (Veja que o número 12,53x10^4 não está em notação científica, pois 12,53 é maior do que dez)
Então, agora soma-se os números inteiros e conserva a potência de 10.
(3,25+12,53)x10^4
15,78x10^4
Assim também se dar a subtração, subtrai-se os números inteiros e conseva-se a potência de 10.
Não se assuste com essa parte, isso é só pra facilitar os cálculos. É um aprendizado a mais. Então não cometa suicídio, AINDA! Deixa pelo menos chegar a prova do vest ;)
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